¿Cuántas bolsas consorcio hacen falta para separar los residuos de una jornada escolar?

Resumen

Respuesta. El enunciado pide separar todos los residuos, así que damos dos cifras. Todo el edificio: combinando el modelo con el dato de maestranza y separando en 3 corrientes (húmedos, reciclables, resto), la escuela necesita 10 bolsas consorcio de 90 × 120 cm por jornada, casi sin importar cómo se reparta el residuo que no es de consumo. Con 5 corrientes, entre 9 y 13. Solo residuos de consumo (lo que midió el trabajo de campo), separados en 5 categorías y retirados a diario: 6 bolsas de 90 × 120 cm (intervalo de 5 a 7), o 6 combinando 1 de 90 × 120 cm y 5 de 60 × 100 cm, con 37 % menos plástico. El consumo es cerca del 20 % de lo que junta maestranza. El resto es papel de aulas, baños y barrido (§15).

Pero 6 no es el óptimo. Con 3 corrientes (orgánicos, reciclables, resto) y una frecuencia de retiro distinta para cada una, el promedio baja a 2,5 bolsas por día. Si además se aplastan botellas y vasos, baja a 1,7 bolsas por día.

Las ideas que sostienen el modelo:

• Se cuenta volumen, no objetos. Los datos dan objetos por persona; el modelo los convierte en litros con geometría y recién después en bolsas.
• La auditoría cambió los datos. Las hojas contenían errores de cuenta, una categoría mal asignada (yerba y té como envoltorios) y volúmenes calculados como láminas de 1 mm, que subestiman el espacio ocupado entre 10 y 30 veces.
• La cantidad real de bolsas es la función techo de una función continua. B = ⌈b⌉ es escalonada, con saltos donde una variación mínima exige una bolsa más. En nuestro caso la corriente de botellas está un 2 % por encima de un salto.
• Separar tiene un precio acotado. Se demuestra que separar en n corrientes cuesta como mucho n − 1 bolsas extra. Nuestro caso alcanza exactamente esa cota: 6 contra 2.
• La incertidumbre se trata con intervalos, diferenciales y escenarios. La variable que más pesa es la capacidad efectiva de la bolsa, seguida por la proporción de bebidas en el kiosco.
• La optimización es la decisión. Qué categorías agrupar, cada cuánto retirar cada bolsa, qué fracción de botellas aplastar y qué tamaño de bolsa usar.

Valores en escenario esperado: 1.350 objetos por día, 262 L de residuos, capacidad efectiva de 167 L por bolsa.

§1Planteamiento del problema

Enunciado (UTN): "En el colegio se está evaluando implementar un nuevo sistema de separación de residuos. Determinar cuántas bolsas del tipo consorcio serán necesarias al separar todos los residuos en una jornada escolar."

El enunciado deja abiertas cuatro decisiones. Las fijamos explícitamente porque cambian la respuesta:

1. Qué residuos. El trabajo de campo midió residuos de consumo personal (comida, bebida, envoltorios, servilletas). El dato de maestranza mide todo el edificio. Respondemos ambas preguntas y dejamos claro cuál es cuál.
2. Qué significa separar. Cada categoría va en su propia bolsa. Eso convierte el problema en una suma de problemas discretos, uno por categoría, y no en una sola división.
3. Qué bolsa. Tomamos como unidad la bolsa consorcio de 90 × 120 cm. Maestranza usa hoy dos medidas, 6 bolsas de 90 × 120 cm y 6 de 60 × 100 cm por día, así que también damos la respuesta en bolsas chicas y con las dos medidas combinadas (§16).
4. Qué jornada. Un día hábil típico, con toda la población presente. Es una cota superior, porque 521 es la matrícula y no la asistencia.

Formulado matemáticamente, buscamos el menor número entero de bolsas tal que el volumen de cada categoría quepa en las bolsas asignadas a esa categoría, sin superar la capacidad efectiva de cada bolsa. Es decir, un problema de optimización discreta con restricciones de capacidad.

La respuesta no es un número único sino una función de variables inciertas. Por eso el objetivo real es triple: dar el valor esperado, dar un intervalo que resista las críticas a los datos, y encontrar la estrategia de separación que use menos bolsas.

§2Variables y parámetros

Cada símbolo lleva su tipo: O observado, E estimado a partir de una muestra, S supuesto justificado, D variable de decisión (la elegimos nosotros).

Fuentes: s ∈ {P, H, K} = personal, alumnos-casa, alumnos-kiosco. Categorías: i ∈ {O, S, T, B, E} = orgánicos, servilletas, envases de comida, bebidas (botellas y vasos), envoltorios.

Salidas del modelo: R_i (objetos por día de la categoría i), V_i (litros por día), b_i = V_i / C_ef (bolsas continuas) y B (bolsas enteras).

§3Datos experimentales y auditoría

Reconstruimos el origen de cada número de las hojas. Casi todo cierra, pero aparecen 18 problemas que cambian el modelo.

3.1 Muestra del personal, reconstruida objeto por objeto

Las líneas horizontales de la hoja separan personas. Sumando cada bloque se obtienen exactamente los seis promedios anotados (4,5; 4; 5,5; 3; 1; 10). Las fracciones son promedios diarios: 0,33 × tostado significa un tostado cada tres días.

Con las marcas de color de la hoja se reconstruyen las categorías: fruta 2; servilletas 1,58 (servilleta + chipá + tostado); tupper 3; "botellas" 13 (yogur, botella, café, vasito, 9 cafés); envoltorios 6,58; almuerzos 1,83, que se excluyeron.

Hallazgo 1: la renormalización equivale a excluir los almuerzos. Los porcentajes crudos sumaban 93,44 % (el 6,56 % faltante son los 1,83 almuerzos). La regla de tres "93,44 → 100" da exactamente 7,64 / 6,05 / 11,46 / 49,69 / 25,16 %. El resumen anterior leyó 49,52 %: es 49,69 %, y con ese valor la suma da 100,00 %.

Hallazgo 2: la tabla "CANT / C por persona" está resuelta. Son objetos por día del personal: cada número es 457,37 × porcentaje. El 107,53 usa el 23,51 % previo a renormalizar, por eso aparecen "dos envoltorios": el correcto es 115,07. El 54,47 de tupper es un error de cuenta: 457,37 × 0,1146 = 52,41. Con 54,47 la columna suma 459,4 y no 457,4.

Hallazgo 3: se multiplicó por un total que incluye lo que se había excluido. Si los almuerzos no entran en las bolsas, la tasa correcta es 26,17 / 6 = 4,36 objetos por persona por día, no 4,67. El personal genera 98 × 4,36 = 427 objetos por día, no 457.

Hallazgo 4: la categoría "botellas" del personal es casi toda café. De 13 objetos, 11 son cafés o vasitos, y 9 son de una sola persona. Aplicar el 49,69 % de "botellas" a los alumnos traslada un hábito adulto a adolescentes. Usamos distribuciones separadas por fuente.

3.2 Encuesta a alumnos (n = 30, 24/09/2026)

El CSV confirma los conteos del resumen previo. Aparecen tres problemas.

• Contradicción entre preguntas. 9 de 30 respuestas (30 %) dicen traer 0 descartables "en un día normal" pero declaran 1 a 5 días por semana con residuos. Ninguna lectura de la pregunta 1 es compatible con todas las respuestas, así que usamos tres estimadores y un intervalo (§6).
• Clases abiertas y de rango. "4 o más" no tiene cota superior: el conjunto {4, 5, 6, ...} tiene mínimo 4 pero no supremo. Hace falta un supuesto (§4). "1–2 veces" y "3–4 veces" son intervalos, no números.
• Una respuesta en broma ("sanguchitos de miga..."). Su tipo de residuo se descarta. Sus respuestas numéricas se conservan y se prueba el efecto de quitarlas: cambia los resultados menos de 4 %.

La pregunta de tipo no ofrecía "fruta", así que los orgánicos de alumnos quedan subestimados. 30 respuestas son el 5,8 % de 521, tomadas en un solo día y probablemente de pocos cursos.

3.3 Mediciones de volumen

Las conversiones de unidades están bien: 9 cm³ = 9 × 10⁻⁶ m³, 23,75 cm³ = 2,375 × 10⁻⁵ m³, 11,25 cm³ = 1,125 × 10⁻⁵ m³, 51 cm³ = 5,1 × 10⁻⁵ m³. La última cuenta es 0,3 × 20 × 8,5 = 51 (con 9,5 daría 57).

El problema no es de unidades sino de modelo físico. Todos los objetos se trataron como láminas: botella 25 × 9,5 × 0,1 cm, envoltorio 15 × 6 × 0,1 cm. Eso calcula el volumen del material, no el espacio que ocupa el objeto en la bolsa. Una botella de 500 mL no ocupa 24 cm³: ocupa del orden de 600 cm³ entera y 300 cm³ aplastada. Con los volúmenes de lámina, los residuos de toda la escuela cabrían en 0,17 bolsas por día, cuando maestranza llena 6 grandes y 6 chicas.

Un dato útil sí sale de ahí: 9,5 cm es el ancho de la botella aplastada. Una circunferencia aplastada mide medio perímetro, así que 9,5 = πd/2 da d ≈ 6,05 cm, el diámetro real de la botella.

3.4 Dato de maestranza (validación)

La hoja de maestranza dice que 50 tachos con bolsas de 60 × 100 cm se vacían en 6 bolsas de 90 × 120 cm por día, llenas al 98 %, y que las bolsas de los tachos se cambian una vez por semana. El personal confirmó que además usa 6 bolsas de 60 × 100 cm por día. Eso explica la anotación "Aprox 62 bolsas en total": 50 + 6 + 6 = 62. Es la única medición directa de volumen total. La usamos como cota superior y para acotar la respuesta del edificio completo. Suponemos que las bolsas chicas salen del edificio con residuos propios y con el mismo criterio de llenado; si terminaran dentro de las grandes, la cota sería la de las 6 grandes solas (b_total = 5,88).

3.5 Registro de problemas

§4Supuestos

Cada supuesto tiene una justificación y un lugar donde se pone a prueba. Ninguno se usa como valor exacto: los que no salen de datos entran como intervalos.

El supuesto más fuerte es S9: φ no se midió. También es el más fácil de medir (ver §19).

§5Construcción del modelo: enfoques comparados

Elegimos un modelo por fuente y por categoría, con una bolsa discreta por corriente y una capa de optimización. Los otros enfoques se conservan como casos particulares o como validación.

La estructura: una composición de funciones

El modelo C es una cadena de cuatro funciones. Cada una tiene un significado físico y un dominio propio.

Las tres primeras son continuas y lineales en cada variable. La última no es continua: ahí aparece la matemática más interesante del problema. Separar los pasos permite estudiar cada uno por su lado. El error de los datos se propaga por g₁, g₂ y g₃ con diferenciales; g₄ decide si ese error cambia o no la cantidad de bolsas.

§6Modelo de generación de residuos

La escuela genera en promedio 1.350 objetos por día: 427 del personal, 516 que los alumnos traen de casa y 406 del kiosco.

Personal

Con n = 6, el desvío estándar es 3,05 y el error estándar 3,05/√6 ≈ 1,25. Usamos dos intervalos. El de influencia sale de recalcular el promedio quitando una persona por vez: [3,30; 5,03] (quitar a P6, la de los 9 cafés, lo baja a 3,30). El estadístico, promedio ± 2 errores estándar, es [1,87; 6,85]. El primero define los escenarios bajo y alto; el segundo, el extremo.

Alumnos: residuos traídos de casa (h)

La pregunta 1 (x_j = objetos en "un día normal") y la pregunta 3 (d_j = días por semana con residuos) se contradicen en 9 de 30 casos. Cada lectura de la pregunta 1 da un estimador distinto:

• E₁ lee x_j como un promedio diario: ignora la pregunta 3.
• E₂ lee x_j como la cantidad en los días que trae algo: es lo que hizo el resumen anterior. Anula a quien dice x = 0 pero d = 5, que es contradictorio.
• E₃ agrega que quien trae algo algún día trae al menos un objeto ese día. Es la única lectura que usa las dos preguntas sin contradicción. La elegimos.

Incluyendo la variante sin la respuesta en broma, todas las lecturas caen en h ∈ [0,75; 1,21], con valor central h = 0,99. El error de muestreo agrega ± 2 × 0,24, lo que da [0,50; 1,47] para el escenario extremo.

Alumnos: kiosco (k y q)

Para cada alumno se multiplican compras por semana f_j por residuos por compra r_j, y se promedia:

Se multiplica fila por fila porque el promedio de un producto no es el producto de los promedios. Acá los que compran más también generan más por compra: el producto de promedios da 0,62 obj/día y el cálculo por filas da 0,78, un 26 % más.

f_j viene en clases ("1–2", "3–4"), así que es un intervalo. Para números positivos, [a, b] · [c, d] = [ac, bd], y eso da k ∈ [0,57; 0,94], con valor central 0,78 (puntos medios). El muestreo agrega ± 2 × 0,20.

La proporción de bebidas q no se preguntó, pero los datos la acotan con S5 (a lo sumo una bebida por compra). Si solo las compras de 2 o más residuos incluyen bebida, q = 0,23. Si además todas las compras de 1 residuo son bebidas, q = 0,53. Tomamos el punto medio, q = 0,38. Es la variable peor medida del modelo y la más barata de medir: basta preguntar en el kiosco cuántas bebidas vende por día.

§7Distribución por categorías

Cada fuente tiene su propia distribución, y la distribución de la escuela es su promedio ponderado. Con distribuciones por fuente, las bebidas son el 30 % de los objetos, no el 49,7 % que daba aplicar la del personal a todos.

Como los pesos w_s suman 1 y son positivos, cada p_i queda entre el menor y el mayor de los p_s,i: la mezcla nunca puede ser más extrema que sus fuentes.

Distribuciones por fuente

La columna del personal sale de la reconstrucción de §3.1, con yerba y té como orgánicos. La de casa pondera el tipo declarado por cada alumno con la cantidad de objetos que ese alumno trae (E₃). Sin ponderar, el reparto sería 54,5 / 36,4 / 4,5 / 4,5 %; ponderar es más correcto porque cuenta objetos, no personas.

Objetos por día (escenario esperado)

Los pesos son w_P = 0,32, w_H = 0,38 y w_K = 0,30. Las servilletas son la categoría más numerosa, pero ya veremos que no pesan en volumen.

§8Modelo volumétrico

Los residuos de consumo ocupan 262 L por día sueltos y 99 L si se aplastan botellas, vasos y envases. Las bebidas son el 30 % de los objetos pero el 65 % del volumen.

Tres volúmenes distintos para un mismo objeto

Un objeto tiene tres volúmenes ordenados. Las hojas calcularon el primero, que es una cota inferior que nunca se alcanza.

El volumen del material es el ínfimo físico del espacio que puede ocupar el objeto: ni aplastándolo al máximo se llega a él. El volumen suelto es el de la forma envolvente tal como se tira. Entre ambos está el compactado, que depende de una decisión: aplastar o no. Por eso la compactación es una variable de decisión y no un dato.

Volumen por objeto

Fórmulas usadas: cilindro πr²h; tronco de cono πh(R² + Rr + r²)/3; esfera πD³/6. La botella sale de las propias mediciones: el ancho aplastado 9,5 cm es medio perímetro, así que d = 2 × 9,5/π ≈ 6,05 cm, y el cilindro envolvente da π × 3,02² × 25 ≈ 718 cm³. Es una cota superior, porque el cuello es más angosto; la inferior es 550 cm³, apenas más que los 500 mL de contenido. Fruta, yerba y té no se midieron: son supuestos acotados, y en §17 se ve que pesan menos del 1 % en el resultado.

Volumen por categoría

Esta tabla es la razón para no mezclar cantidad de objetos con volumen. Las servilletas son el 31 % de los objetos y el 6 % del volumen; las bebidas son el 30 % de los objetos y el 65 % del volumen. Con los volúmenes de lámina el total daría 29 L por día: nueve veces menos.30 % → 65 %

§9Capacidad efectiva de las bolsas

Una bolsa consorcio de 90 × 120 cm tiene una capacidad nominal de 309 L, pero en la práctica recibe 167 L de residuos: el 54 %. Usar la nominal subestima la cantidad de bolsas.

De dos dimensiones a un volumen

Una bolsa plana de ancho W tiene, al abrirla, un perímetro 2W. Su volumen depende de la forma de la sección. Esto es un problema de optimización.

Si la sección es un rectángulo de lados a y b con 2(a + b) = 2W, entonces b = W − a y el área es:

Entre los rectángulos, el mejor es el cuadrado. Si la sección es un círculo, 2πr = 2W da r = W/π y el área es W²/π. El cociente entre ambos es 4/π ≈ 1,27: un círculo aprovecha 27 % más que el mejor rectángulo. Es un caso de la desigualdad isoperimétrica: entre todas las figuras de igual perímetro, el círculo encierra la mayor área. Una bolsa llena y parada, o dentro de un tacho redondo, toma forma de cilindro:

Consecuencia práctica: con tachos cuadrados, el escenario esperado sin separar pasa de b = 1,57 a b = 2,0005, apenas por encima de 2, y necesita una tercera bolsa. La forma del tacho es una decisión con efecto medible.

Capacidad efectiva

Dos factores reducen la capacidad nominal:

• η, fracción de altura llenable. Para atar la bolsa hace falta un largo libre ℓ, así que η = (L − ℓ)/L. Con ℓ entre 6 y 18 cm, η ∈ [0,85; 0,95]. El "98 % lleno" de maestranza no puede ser altura: dejaría 2,4 cm para el nudo. Lo interpretamos como "llena a simple vista".
• φ, empaquetamiento. Los objetos dejan huecos entre sí. Objetos rígidos apilados al azar ocupan cerca del 60 % del espacio; los deformables rellenan huecos y los rígidos grandes dejan más. Tomamos φ ∈ [0,50; 0,70].

Resultado: α ∈ [0,425; 0,665], con valor central 0,90 × 0,60 = 0,54. Para la bolsa de 90 × 120 cm, C_ef ∈ [131,5; 205,7] L, con valor central 167,1 L.

Si se usara la capacidad nominal, el escenario esperado daría 262,5 / 309,4 = 0,85, es decir 1 bolsa. Con la efectiva da 1,57, es decir 2. La diferencia entre nominal y efectiva decide el resultado.nominal: 1 · efectiva: 2

§10Función continua ideal

La función continua b mide el volumen en unidades de "bolsa llena". En el escenario esperado vale b = 262,5 / 167,1 ≈ 1,571 bolsas equivalentes por día.

Agrupando por fuente, con ū_s = Σ p_s,j u_j el volumen medio de un objeto de la fuente s, el modelo completo queda en una sola expresión:

Valores esperados: ū_P = 0,221 L, ū_H = 0,105 L, ū_K = 0,280 L. Un objeto del kiosco ocupa en promedio casi tres veces más que uno traído de casa, porque las bebidas vienen del kiosco y las servilletas de casa.

Propiedades que se leen sin hacer cuentas

• Dominio. Todas las variables son positivas; además 0 < η, φ ≤ 1 y 0 ≤ q ≤ 1. El dominio físico es un producto de intervalos, uno por variable.
• Monotonía. b es estrictamente creciente en N_a, N_p, λ_P, h, k, cada u_j y q (porque u_botella > u_envoltorio). Es estrictamente decreciente en η, φ, W y L. Ninguna variable cambia de rol: eso va a permitir hallar el máximo y el mínimo sobre intervalos evaluando solo en los extremos (§13).
• Linealidad. En el numerador, b es lineal en cada variable. Duplicar la población duplica b.
• Dependencia de α. Como función de α, b(α) = V/(αC) es una hipérbola: racional, convexa, con asíntota vertical en α = 0. Si la bolsa no puede llenarse, no alcanza ninguna cantidad de bolsas.
• Dependencia de W. b es proporcional a 1/W². Pasar de 60 a 90 cm de ancho divide b por 2,25; el largo solo entra de forma lineal.

Por qué conviene la versión continua

b no es la respuesta, porque no existe 1,571 bolsas. Pero es la herramienta de análisis. Es derivable, así que admite sensibilidad y diferenciales. Es aditiva: el b de una semana es 5b, y el de dos corrientes es la suma de sus b. Y separa dos preguntas distintas: cuánto residuo hay (b) y cuántas bolsas enteras hacen falta para contenerlo (B).

§11Función discreta real

La cantidad real de bolsas es la función techo de b. Sin separar, B = ⌈1,571⌉ = 2; separando en 5 categorías, B = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6.

El techo como mínimo de un conjunto de mayorantes

La restricción física es que la capacidad alcance: B · C_ef ≥ V, es decir B ≥ b. La cantidad de bolsas es el menor entero que cumple eso:

Es el mínimo del conjunto de mayorantes enteros de b. El conjunto no es vacío (siempre hay un entero mayor que b) y está acotado inferiormente por b. Como es un conjunto de enteros acotado inferiormente, tiene mínimo. Una caracterización útil:

No sirve redondear al entero más cercano: con b = 1,3 daría 1 bolsa y quedaría afuera 0,3 bolsas de basura. No sirve la parte entera por la misma razón. Solo el techo garantiza que todo entre.

Mezclar contra separar

Si 𝒢 es la partición de las categorías en corrientes (cada corriente va en sus propias bolsas):

Teorema: el precio de separar está acotado

Para b₁, …, bₙ > 0:

Demostración. Cota inferior: cada ⌈bᵢ⌉ ≥ bᵢ, así que Σ⌈bᵢ⌉ ≥ Σbᵢ. Entonces Σ⌈bᵢ⌉ es un mayorante entero de Σbᵢ, y por lo tanto es mayor o igual que el mínimo de ellos, ⌈Σbᵢ⌉. Cota superior: cada ⌈bᵢ⌉ < bᵢ + 1, así que Σ⌈bᵢ⌉ < Σbᵢ + n ≤ ⌈Σbᵢ⌉ + n. Una desigualdad estricta entre enteros permite restar 1: Σ⌈bᵢ⌉ ≤ ⌈Σbᵢ⌉ + n − 1. ∎

Además, como cada bᵢ > 0, cada ⌈bᵢ⌉ ≥ 1, así que separar en n corrientes nunca usa menos de n bolsas.

Lectura. Separar en n corrientes cuesta entre 0 y n − 1 bolsas más que mezclar. Y el costo no depende de cuánta basura hay, sino de las partes fraccionarias.

Nuestro caso alcanza la cota

Mezclando, ⌈1,571⌉ = 2. Separando, 6 = 2 + (5 − 1): el precio de separar es el máximo posible. Las 6 bolsas se usan en un 26 % (1,571 / 6). Cuatro corrientes son chicas (b < 0,3) y la de bebidas supera 1 por apenas 0,020. Esta situación es la que después se optimiza.el precio máximo

Corolario: el edificio completo

Maestranza llena hoy 6 bolsas de 90 × 120 cm y 6 de 60 × 100 cm, todas al 98 % de su criterio de llenado. Una bolsa chica equivale a C₆₀/C₉₀ = (0,6² · 1,0)/(0,9² · 1,2) = 10/27 ≈ 0,370 bolsas grandes, así que, medido en bolsas de 90 × 120 cm, b_total = 0,98 · (6 + 6 · 10/27) ≈ 8,06. Si esos mismos residuos se separan en n corrientes y cada bolsa se llena con el mismo criterio, el teorema da, sin conocer la composición:

§12Estudio matemático de la función

B es constante casi en todas partes y salta en puntos aislados. Por eso un resultado puede ser muy robusto (sin separar, B = 2 resiste errores de hasta 27 % en el volumen) o muy frágil (la corriente de bebidas cambia de 2 a 1 bolsa con 2 % menos de volumen).

12.1 B como función del volumen

• Dominio e imagen. Dominio V > 0; imagen ℕ. Es una función por partes, constante en cada tramo: una función escalonada.
• Monotonía. No decreciente. No es inyectiva (muchos volúmenes dan la misma cantidad de bolsas), así que no tiene inversa. Sí tiene una "inversa por umbrales": el mayor volumen que entra en k bolsas es k · C_ef.
• Discontinuidades. En V_k = k · C_ef (167,1 L; 334,2 L; 501,2 L; ...). En cada una:

Los límites laterales existen y son distintos: discontinuidad de salto, de altura 1. Coincide con el límite por izquierda: B es continua por izquierda. Físicamente, un volumen que llena exactamente k bolsas entra en k; cualquier exceso, por mínimo que sea, exige una más.

• Derivada. En el interior de cada tramo B'(V) = 0. En los V_k no es derivable. Una derivada nula dice que pequeños errores no cambian la respuesta; los saltos dicen dónde sí la cambian. Por eso la sensibilidad se estudia sobre b y la decisión se lee sobre B.
• Puntos aislados. El conjunto de discontinuidades {k · C_ef} está formado por puntos aislados: alrededor de cada uno hay un entorno sin otras discontinuidades.

12.2 Margen de estabilidad: un entorno donde B no cambia

Si b está en el tramo (n − 1, n], las holguras hasta los bordes son δ⁺ = n − b y δ⁻ = b − (n − 1). Con ρ = min(δ⁺, δ⁻):

Es una inecuación con módulo: B es constante en el entorno de centro b y radio ρ.

El mismo modelo produce un resultado robusto y otro frágil. Ese contraste justifica trabajar con intervalos (§13).

12.3 B como función de la capacidad efectiva

B(α) es escalonada y decreciente: B = k cuando α ∈ [α_k, α_k−1). Para todo el intervalo plausible α ∈ [0,425; 0,665], sin separar, B = 2 sin excepción, porque [0,425; 0,665] ⊂ [0,424; 0,848). La incertidumbre sobre α no afecta la respuesta sin separar. En cambio, la corriente de bebidas salta en α = 0,551, justo por encima del valor central 0,54.

Los umbrales α_k = V/(kC) forman una sucesión decreciente. Su supremo es α₁ (un máximo) y su ínfimo es 0, que no se alcanza. Los escalones se achican, porque α_k − α_k+1 = V / (C · k(k+1)), y 0 es el único punto de acumulación de las discontinuidades. Cerca de α = 0, la función es tan sensible que cambia de valor en cualquier entorno: la zona que ninguna bolsa real debería pisar.

12.4 B como función de la cantidad de alumnos

Con c₀ = 94,4 L (volumen del personal) y c₁ = 0,3226 L por alumno por día:

Sin separar, B = 2 para 225 < N_a ≤ 743. La escuela podría sumar 222 alumnos sin necesitar una tercera bolsa. El dominio es discreto (N_a ∈ ℕ), así que B es una función de ℕ en ℕ.

12.5 Comportamiento para poblaciones grandes: teorema del sándwich

Por la caracterización del techo, b ≤ B < b + 1. Dividiendo por N_a:

Las dos cotas tienden al mismo límite, así que el cociente del medio también. En una escuela enorme, el redondeo no importa: hace falta una bolsa cada 518 alumnos. En la nuestra, el techo agrega hasta una bolsa sobre b = 1,57, es decir hasta 64 %. Lo discreto es central justamente porque la escuela es chica en unidades de bolsa. El mismo argumento, aplicado al tiempo en lugar de la población, es la base de la optimización de §16.

§13Intervalos y cotas

Con todas las variables en sus intervalos, el volumen diario queda en V ∈ [127; 444] L y la función continua en b ∈ [0,62; 3,38]. Eso da B ∈ [1; 4] bolsas sin separar y B ∈ [5; 7] separando en 5 categorías.

Cada variable es un intervalo

En la columna "bajo" cada variable toma el valor que minimiza b; por eso η y φ aparecen con su valor más alto.

Por qué alcanza con evaluar en los extremos

El dominio es un producto de intervalos (una caja). En §10 vimos que b es monótona en cada variable, sin cambios de sentido. Si se fijan todas las variables menos una, b es monótona en esa, así que su máximo está en un extremo del intervalo. Repitiendo el argumento con cada variable, el máximo y el mínimo de b sobre la caja se alcanzan en vértices: el vértice con todas las variables "en contra" y el vértice con todas "a favor". Como la caja es cerrada y acotada y b es continua, ese máximo y ese mínimo existen.

Como B = ⌈b⌉ es no decreciente, la imagen del intervalo de b es un intervalo de enteros:

El supremo que falta: "4 o más"

Si "4 o más" pudiera valer cualquier entero desde 4, el conjunto de valores posibles de h y de k no estaría acotado superiormente, y b tampoco: no existiría el máximo, ni siquiera el supremo. La cota superior de 6 no es una comodidad sino una condición para que el problema de peor caso tenga solución. Afortunadamente pesa poco: pasar de 4 a 6 mueve b de 1,52 a 1,63, apenas 0,11 bolsas.

Qué dicen y qué no dicen los vértices

Los vértices suponen que todo sale mal (o bien) a la vez: muchos alumnos que compran mucho, todas las botellas grandes, las bolsas mal llenadas. Garantizan que la respuesta está dentro del intervalo, pero lo hacen anchísimo. En §14 se estima qué tan probable es cada zona del intervalo: el 90 % de los casos cae en b ∈ [1,19; 2,03].

§14Propagación de errores y diferenciales

Con diferenciales, el error relativo de b es la suma ponderada de los errores relativos de cada variable. El peso de cada variable es su elasticidad: la fracción del volumen que depende de ella. La capacidad efectiva α explica por sí sola el 22 % de error posible; ningún volumen unitario salvo el de la botella supera el 6 %.

Diferencial logarítmico

Para un término del numerador de b, por ejemplo el de las botellas del kiosco, b = N_a k q u / (η φ κ W² L). Tomando logaritmo y diferenciando:

Con varios términos sumados, cada variable pesa según la parte del volumen que afecta. Definimos la elasticidad:

∂b/∂x es la derivada de b respecto de x con las demás variables fijas: una derivada ordinaria de una función de una variable. Resultados: E_uj = V_j / V (la parte del volumen que ocupa ese tipo de objeto), E_Na = 0,64, E_λP = 0,36, E_α = −1, E_W = −2. W es la única variable con elasticidad 2: aparece al cuadrado.

Presupuesto de error (escenario esperado)

El error relativo es la mitad del ancho del intervalo dividida por el valor central. Aunque el volumen de una servilleta es la variable más incierta (71 %), casi no importa, porque su elasticidad es 0,06. Lo que importa es el producto entre incertidumbre y peso.

Ejemplo: error en el volumen de la botella

Hay unas 208 botellas por día, así que ∂b/∂u_botella = 208 / 167,1 = 1,25 bolsas por litro. Un error de ± 0,085 L en el volumen de una botella da db ≈ ± 0,11 bolsas. Sin separar, el margen de estabilidad es ρ = 0,429 (§12.2): la respuesta "2 bolsas" no cambia. En la corriente de bebidas el margen es 0,020: el mismo error sí la cambia.

Tres formas de combinar errores

• Suma lineal (peor caso lineal). Σ|E_x| · error_x = 83 %, es decir b ∈ [0,27; 2,87]. Es simétrica, pero los vértices exactos de §13 dan [0,62; 3,38]: la aproximación lineal falla con errores grandes.
• Errores independientes. Si no se equivocan todas juntas en el mismo sentido, se compensan en parte. La raíz de la suma de cuadrados da 31 %: b ∈ [1,08; 2,06].
• Comprobación numérica. Sorteamos 100.000 combinaciones de variables dentro de sus intervalos, de manera independiente. El 90 % de los resultados cae en b ∈ [1,19; 2,03]. Sin separar, B = 2 en el 93,7 % de los casos (3 en el 6,1 %). Separando en 5 corrientes, B = 5 en el 53 % y 6 en el 47 %. La simulación no es del programa: la usamos solo para verificar la estimación con diferenciales, y coincide.

Taylor: por qué el error en α es asimétrico

Sea t = Δα/α₀. Como b(α) = V/(αC):

El polinomio de grado 1 (la recta tangente) queda por debajo de la curva en ambos lados, porque b es convexa en α (b'' > 0). El de grado 2 corrige casi todo el error. La consecuencia es práctica: un error simétrico en α produce un error asimétrico en b. Si α es 21 % menor, b sube 27 %; si es 23 % mayor, b baja solo 19 %. Equivocarse en la capacidad efectiva castiga más para arriba que para abajo, y eso justifica planificar con el lado pesimista.

§15Escenarios

En los cuatro escenarios, separar en 5 corrientes con retiro diario exige entre 5 y 7 bolsas por día. El diseño optimizado de §16 usa entre 1,4 y 5 bolsas por día, y en el escenario esperado reduce las bolsas a menos de la mitad.

• Bajo: vértice favorable de §13: poca generación, objetos chicos, bolsas bien llenas.
• Esperado: valores centrales de las muestras.
• Alto: vértice desfavorable: los peores valores de cada intervalo a la vez.
• Extremo: el alto, más el error de muestreo (± 2 errores estándar) en λ_P, h y k. Es un margen de seguridad razonable, no un pronóstico.

Residuos sueltos (situación actual)

Botellas, vasos y envases aplastados

Con 5 corrientes y retiro diario, el resultado casi no depende del escenario: está pegado al piso de 5 bolsas, una por corriente. Ese piso es estructural (§11) y es lo que la optimización ataca.

Validación contra maestranza

Maestranza llena hoy el equivalente a 8,06 bolsas de 90 × 120 cm por día (6 grandes y 6 chicas) con todos los residuos del edificio. Los residuos de consumo del modelo representan el 8 % (bajo), 20 % (esperado), 42 % (alto) y 54 % (extremo) de ese total. Ningún escenario supera el 100 %, que sería una contradicción: el dato observado funciona como cota superior y el modelo la respeta. El 80 % restante del escenario esperado corresponde a papel de aulas, baños y barrido, que la encuesta no midió. Con los volúmenes de lámina de las hojas, los residuos de consumo serían apenas el 2 % del total, un valor difícil de sostener.

Conciliación con maestranza: de los residuos de consumo al edificio completo

Las 6 bolsas del modelo y las 12 de maestranza no se contradicen: responden preguntas distintas. Maestranza junta residuos mezclados de todo el edificio. El modelo cuenta residuos de consumo y los separa. Comparando lo mismo, en bolsas de 90 × 120 cm:

¿Puede ser que el modelo subestime tanto? Para que el consumo solo llenara las bolsas de maestranza, cada una de las 619 personas tendría que descartar 1346/619 ≈ 2,2 L por día, contra 0,42 L del modelo: 5,1 veces más, unas tres botellas y media sin aplastar por persona. Ni el escenario extremo pasa del 54 %. Las fuentes de error de §14 (α, q, el subregistro de la encuesta) pueden explicar una parte de la diferencia, no un factor 5. Concluimos que R es sobre todo residuo que no es de consumo.

Respuesta para el edificio completo. Con 3 corrientes, el residuo R no va a los húmedos: el papel de aulas va a reciclables y lo de baños y barrido, a resto. Si p ∈ [0, 1] es la fracción de R que es papel reciclable, con b_H = 0,14, b_R = 1,30 y b_E = 0,14 (§15):

Los dos últimos términos suman s = b_R + b_E + r = 7,92 para todo p. Por la propiedad del techo usada en §11,

El valor 8 aparece solo cuando la parte decimal de x = b_R + p r es 0 o mayor que 0,92, y eso ocurre en menos del 10 % del rango de p. Entonces B = 10 bolsas por día para casi cualquier composición del residuo, y 9 en el mejor caso. No hace falta conocer p: esto es lo que vuelve defendible la cifra del edificio completo. Con 5 corrientes sin conocer la composición vale la cota de §11, 9 ≤ B ≤ 13.

Qué dato cerraría la conciliación. Que maestranza separe durante un día las bolsas por origen (aulas, baños, patio y kiosco) y las cuente. Eso mide p y R de forma directa y valida el volumen de consumo del modelo.

§16Optimización

El diseño óptimo separa en 3 corrientes y retira cada una con su propia frecuencia: 2,53 bolsas por día en promedio (12,7 por semana), contra 6 por día (30 por semana) del diseño ingenuo. El "precio de separar" baja de 4 bolsas diarias a 0,53.

16.1 Formulación

Variables de decisión: la partición 𝒢 en corrientes, el período de retiro T_g de cada corriente (en días hábiles), la cantidad n_g de bolsas que se cierran en cada retiro y la compactación c.

• Capacidad: lo que se junta en T_g días tiene que entrar en las n_g bolsas.
• Higiene (S12): T_max = 1 para corrientes con restos de comida (O, S); T_max = 5 para reciclables secos y envoltorios.
• Compatibilidad: C1, no mezclar húmedos {O, S} con reciclables {B, T}; C2, los envoltorios (multilaminados) no son reciclables ni compostables, así que van aparte.

Para T_g fijo, el menor n_g que cumple la capacidad es el mínimo entero mayor o igual que T_g · b_g, es decir ⌈T_g b_g⌉. El problema queda:

Es una optimización discreta con un número finito de opciones, y se separa por corriente: cada corriente se optimiza por su cuenta. Por eso se resuelve completa, sin métodos especiales.

16.2 Paso 1: qué categorías agrupar

Hay 52 formas de partir 5 categorías en grupos. De ellas, 16 cumplen C1. Con retiro diario, el mínimo es 3 bolsas, con dos corrientes ({O, S} y {T, B, E}). Si además se exige C2, el diseño natural es de 3 corrientes y usa 4 bolsas diarias:

Agrupar ya baja de 6 a 4 bolsas: el teorema de §11 aplicado al revés. Menos corrientes, menos partes fraccionarias desperdiciadas.

16.3 Paso 2: cada cuánto retirar cada corriente

Si una corriente se retira cada T días, gasta en promedio r(T) = ⌈T b⌉ / T bolsas por día. Por la caracterización del techo:

Es el teorema del sándwich otra vez: el desperdicio por redondeo es menor que 1/T por día. Juntar más días desperdicia menos, pero la higiene pone un límite. Además, r(T) no es monótona, así que el mejor T no es necesariamente el máximo permitido:

El óptimo de los reciclables es cerrar 4 bolsas cada 3 días, no esperar 5. Como r(T) salta con el techo, hay que evaluar todos los T: es un problema de optimización donde las herramientas del cálculo no sirven y la comparación directa sí. Solución: húmedos 1 por día, reciclables 4 cada 3 días, resto 1 por semana.no es monótona

16.4 Paso 3: cuánto aplastar

Si se aplasta una fracción x de botellas y vasos, el volumen de la corriente de bebidas es lineal y decreciente en x: V_B(x) = V_B(0) − x · ΔV_B, con ΔV_B = 100,1 L. Para que las bebidas entren en una bolsa diaria:

Aplastar el 3,4 % de las botellas y vasos (unos 14 por día) ahorra una bolsa diaria. Es la consecuencia más concreta del margen de 0,020 de §12. Para que todo quepa en una sola bolsa sin separar haría falta aplastar el 58 %. Con todo aplastado, el diseño óptimo baja a 1 + 1/2 + 1/5 = 1,7 bolsas por día: los reciclables caben en una bolsa cada 2 días.≈ 14 por día

16.5 Paso 4: qué tamaño de bolsa

Una bolsa plana de W × L usa 2WL de plástico (dos caras), así que su capacidad por metro cuadrado de plástico es:

No depende del largo y crece con el ancho: la bolsa de 90 × 120 cm guarda 143 L por m² y la de 60 × 100 cm, 95 L por m². La grande es mejor cuando se llena. Pero la corriente de húmedos se cierra cada día con solo 23 L: cabe en una de 60 × 100 cm (C_ef = 62 L), que usa 1,2 m² en lugar de 2,16 m². Regla: bolsa grande para las corrientes grandes y la más chica que alcance para las que se retiran a diario. El diseño óptimo con esta regla usa 4,5 m² de plástico por día, contra 13,0 m² del diseño ingenuo.

Con las dos medidas que ya usa la escuela. Para la pregunta literal (5 corrientes, retiro diario) elegimos para cada corriente i cuántas bolsas grandes g_i y chicas c_i usar. Se minimiza la cantidad de bolsas y, a igual cantidad, el plástico:

Es optimización entera con dos variables por corriente y se resuelve recorriendo los pocos pares posibles.

Orgánicos, servilletas, envases y envoltorios van en una bolsa chica cada uno. Botellas y vasos (170,5 L) no entran en una grande (167,1 L) y se completan con una chica. El combinado usa las mismas bolsas que el diseño con grandes y 37 % menos plástico. En los otros escenarios da 5 bolsas (bajo: 1 grande y 4 chicas), 7 (alto: 3 y 4) y 7 (extremo: 5 y 2).

16.6 Paso 5: cuántas bolsas comprar (decisión robusta)

La escuela compra bolsas antes de saber cuánta basura habrá. La decisión robusta es la menor provisión S que alcance en cualquier punto de la caja de incertidumbre:

Como B es monótona (§13), el máximo está en el vértice alto: 7 bolsas por día con 5 corrientes y retiro diario, y 4,1 por día en promedio con el diseño óptimo.

16.7 Comparación de diseños (escenario esperado)

La capacidad usada es b dividido por las bolsas. Con aplastado baja porque el volumen cae, pero la bolsa diaria de húmedos no se puede evitar.

§17Análisis de sensibilidad

La respuesta depende sobre todo de tres cosas: la capacidad efectiva de la bolsa (lo peor medido y con elasticidad −1), las bebidas (65 % del volumen) y la decisión de aplastar (que cambia b en −62 %). La cantidad de alumnos importa menos de lo que parece: hacen falta 518 alumnos más para sumar una bolsa diaria.

Derivadas variable por variable

Cada fila es la derivada ordinaria de b respecto de una variable, con las demás fijas en el escenario esperado, multiplicada por un cambio realista.

Las diferencias entre la aproximación y el valor exacto en W y α vienen de la convexidad de b en esas variables (§14).

Tres rankings distintos, tres preguntas distintas

1. ¿Qué incertidumbre pesa más? El producto elasticidad × error (§14): α (22 %), q (13 %), k (10 %), λ_P (7 %), volumen de la botella (7 %). Responde qué conviene medir mejor.
2. ¿Qué variable, al cambiar algo razonable, mueve más el resultado? El ancho de la bolsa y la capacidad efectiva, seguidos por las bebidas. Responde dónde está el apalancamiento físico.
3. ¿Qué decisión mueve más el resultado? Aplastar: b pasa de 1,57 a 0,59. Ninguna variable de datos tiene un efecto comparable.

Sensibilidad discreta

Para B, lo que importa no es la derivada (que vale 0) sino la distancia al próximo salto. Sin separar, b = 1,571 está a 0,429 del salto de arriba y a 0,571 del de abajo: el resultado es robusto. En la corriente de bebidas, b = 1,020 está a 0,020 del salto: cualquier variable que baje el volumen de bebidas un 2 % ahorra una bolsa diaria. Por eso el resultado "6 bolsas" es tan frágil como "5", y la simulación los da con frecuencias parecidas (47 % y 53 %).

Qué pasa con los porcentajes de categoría

Si se hubiera aplicado la distribución del personal a toda la escuela, como en las hojas, las bebidas serían el 49,7 % de los objetos y no el 30 %, y el volumen total pasaría de 262 L a unos 298 L por día (+14 %), con una composición equivocada: casi la mitad serían vasitos de café. Tratar los porcentajes de una muestra de 6 personas como exactos, y además trasladarlos a otra población, es el error de modelado con más efecto de todo el trabajo previo.

§18Resultado final

Separando los residuos de consumo en 5 categorías con retiro diario, la escuela necesita 6 bolsas consorcio de 90 × 120 cm por jornada. El intervalo es de 5 a 7 bolsas y la provisión que cubre todos los escenarios es de 7 por día.

Modelo final

Para cada corriente g, con ū_s,g = Σ_{j∈g} p_s,j u_j el volumen que aporta en promedio cada objeto de la fuente s a esa corriente:

Respuestas

Recomendación

1. Separar en 3 corrientes: húmedos (orgánicos y servilletas), reciclables (bebidas y envases vacíos) y resto (envoltorios).
2. Retirar los húmedos cada día; cerrar 4 bolsas de reciclables cada 3 días; cerrar 1 bolsa de resto por semana.
3. Pedir que se aplasten botellas y vasos: con que se aplaste una de cada veinticinco (4 %, por encima del umbral de 3,4 %), ya se ahorra una bolsa diaria.
4. Usar tachos redondos (27 % más capacidad que los cuadrados) y la bolsa de 60 × 100 cm para los húmedos.

Con esto, separar cuesta 0,53 bolsas por día más que no separar, en lugar de 4.

§19Limitaciones

El modelo es tan bueno como sus dos datos más débiles: el factor de empaquetamiento φ, que no se midió, y la proporción de bebidas del kiosco q, que solo está acotada. Ambos se pueden medir en una semana.

Qué no captura el modelo

• Muestras chicas. El personal tiene n = 6, y una sola persona aporta 9 de los 13 objetos de bebida. La encuesta tiene n = 30, de un solo día y probablemente de pocos cursos.
• Preguntas mejorables. El 30 % de las respuestas se contradicen entre la pregunta 1 y la 3. La pregunta de tipo no ofrecía "fruta" y pedía el tipo más frecuente, no un conteo.
• Volúmenes estimados, no medidos en bolsa. Los volúmenes por objeto salen de geometría; fruta, yerba y té son supuestos acotados.
• Ambigüedades de clasificación. Los "cafés" del personal pueden ser tazas y no vasos descartables. Los tuppers, en cambio, se confirmaron descartables tipo rotisería.
• Variación entre días. Días de calor (más bebidas), actos o salidas cambian las tasas. El modelo describe una jornada típica con asistencia completa.
• Solo residuos de consumo. Papel de aulas, baños y barrido (cerca del 80 % del total, según maestranza) solo están acotados por el teorema de §11.
• Bolsas de los tachos. Si cada punto de recolección pasa a tener 3 tachos, las bolsas internas de los tachos también se multiplican. No está modelado.
• Independencia. La simulación de §14 supone variables independientes; los vértices de §13 no suponen nada y por eso son más anchos.

Qué mejoraría con más datos, en orden de impacto

El orden sale del presupuesto de error de §14.

1. Llenar una bolsa real con los residuos de un día y contar los objetos. Mide de una vez α y los volúmenes unitarios, que suman el 22 % más el 7 % del error posible.
2. Preguntar al kiosco cuántas bebidas y cuántos snacks vende por día. Fija q (13 %).
3. Registrar las bolsas de maestranza durante varias semanas. Permite el enfoque E (regresión) y validar el modelo día por día.
4. Ampliar la muestra del personal a 20 personas o más. Reduce el error estándar de 1,25 a menos de 0,7.
5. Reescribir la pregunta 1: "En los días que traés algo descartable, ¿cuántos objetos tirás?". Elimina la contradicción con la pregunta 3.

§20Conclusión

La pregunta "¿cuántas bolsas?" tiene dos respuestas, según qué residuos se cuenten. Para todo el edificio, 10 bolsas por jornada. Para los residuos de consumo, 6, y con un buen diseño alcanzan 2,5 por día en promedio.

El recorrido fue el de una modelización genuina. Partimos de una realidad desordenada: hojas con errores, una encuesta con respuestas contradictorias y mediciones que calculaban el volumen equivocado. La redujimos a variables con tipo y unidad, y la organizamos como una composición de funciones: personas, objetos, litros, bolsas. La función continua b permitió estudiar sensibilidad y propagar errores. La función discreta B = ⌈b⌉ mostró por qué dividir no alcanza: los saltos del techo hacen que un resultado sea robusto o frágil según a qué distancia esté del próximo salto.

La incertidumbre se trató sin esconderla. Los intervalos garantizan la respuesta; los diferenciales explican de dónde viene el error; los escenarios lo vuelven concreto. Y la optimización convirtió el cálculo en una decisión: qué agrupar, cada cuánto retirar, cuánto aplastar y qué bolsa usar.

El hallazgo central es que en esta escuela el costo de separar no lo determina la cantidad de basura sino las partes fraccionarias de cada corriente. Por eso la herramienta decisiva no fue una fórmula más precisa, sino entender la función techo.

La diferencia con la estimación de maestranza no fue un problema sino información. Mostró qué parte de los residuos de la escuela mide la encuesta (cerca de un 20 %) y, junto con la misma propiedad de la función techo, permitió responder por el edificio completo sin conocer la composición del resto.

§21Contenidos del programa utilizados y por qué

Usamos contenidos de las seis unidades, y cada uno resuelve un problema concreto del modelo. Los que no usamos quedan listados con el motivo.

Lo que no usamos, y por qué

• L'Hôpital: no aparece ninguna indeterminación relevante.
• Bolzano: los umbrales se obtienen despejando funciones lineales o racionales, sin necesidad de un teorema de existencia. Y B no es continua, así que el teorema no se le aplica.
• Rolle y Lagrange: la cota del error lineal sale directamente de Taylor y de la convexidad.
• Trigonométricas, exponenciales, paridad: el fenómeno no es periódico, no crece en el tiempo y no tiene simetrías.
• Derivada de la inversa, velocidad y aceleración: no hay una magnitud que evolucione de forma continua en el tiempo.

Defensa matemática del modelo

Respuestas preparadas para las preguntas más probables. Cada una remite a la sección donde está el argumento completo.

¿Por qué este modelo es válido? Porque cada paso tiene un significado físico verificable y el resultado respeta la única medición directa. Objetos por persona (encuesta y muestra), litros por objeto (geometría), litros por bolsa (geometría y llenado). Los residuos de consumo del modelo son entre el 8 % y el 54 % de lo que maestranza junta hoy, nunca más del 100 % (§15). Además es consistente: cambiar una variable mueve el resultado en el sentido esperado (§10).

¿Por qué el resultado es tan distinto de lo que usa maestranza? Porque no miden lo mismo. Maestranza junta residuos mezclados de todo el edificio, y el modelo cuenta solo residuos de consumo, separados. En las mismas unidades, el consumo es el 20 % del total; para explicar todo, cada persona tendría que tirar cinco veces más de lo estimado. Combinando las dos fuentes, el edificio completo necesita 10 bolsas por día con 3 corrientes (§15).

¿Por qué usaron promedios? Porque la pregunta es por la jornada de toda la escuela, y el total de 619 personas es N por el promedio: los valores individuales se compensan. Pero no confiamos en el promedio solo. Le agregamos un intervalo (§13) y calculamos el promedio del producto fila por fila, porque el producto de promedios subestima en 26 % (§6).

¿Por qué no alcanza con dividir volumen total por volumen de bolsa? Por tres motivos. Uno: hay que usar la capacidad efectiva y no la nominal; con la nominal da 1 bolsa y con la efectiva, 2 (§9). Dos: separar obliga a una bolsa por corriente, y se demuestra que eso puede costar hasta n − 1 bolsas más; en nuestro caso cuesta exactamente 4 (§11). Tres: una división da un número real y las bolsas son enteras.

¿Por qué aparece una función escalonada? Porque la cantidad de bolsas es entera y tiene que alcanzar para todo el volumen. El menor entero que cumple B ≥ b es ⌈b⌉, constante en cada intervalo (k − 1, k] y con un salto de 1 en cada entero (§12.1).

¿Por qué el resultado se redondea hacia arriba? Porque B · C_ef ≥ V es una restricción, no una aproximación. Redondear al más cercano dejaría basura afuera cada vez que la parte decimal sea menor que 0,5. Formalmente, ⌈b⌉ es el mínimo del conjunto de enteros que cumplen la restricción (§11).

¿Por qué usaron intervalos? Porque varios datos no son números sino rangos ("1–2 veces", "4 o más") y porque las muestras son chicas. Como b es monótona en cada variable, el máximo y el mínimo sobre la caja de intervalos están en sus vértices (§13). Eso da una garantía que ningún valor puntual puede dar.

¿Qué pasa si la encuesta no representa a toda la población? Las tasas de alumnos pesan juntas el 64 % del volumen. Aun así, B sin separar vale 2 para cualquier cantidad de alumnos entre 225 y 743 (§12.4), y un error del 27 % en el volumen total no cambia la respuesta (§12.2). Con 5 corrientes la respuesta está pegada a su piso de 5 bolsas y solo puede subir hasta 7. El resultado que más depende de la encuesta es el diseño optimizado, y por eso lo damos con intervalo.

¿Cuál es la principal fuente de error? La capacidad efectiva de la bolsa (α = ηφ), con una contribución del 22 %, seguida por la proporción de bebidas del kiosco (13 %) (§14). No la encuesta en sí, ni el volumen de servilletas, que es muy incierto pero pesa poco. Del trabajo previo, el mayor error era de modelado: calcular volúmenes como láminas y aplicar la distribución del personal a toda la escuela (§3).

¿Qué variable modifica más el resultado? Depende de la pregunta (§17). Por incertidumbre, α. Por cambio físico razonable, el ancho de la bolsa, que aparece al cuadrado. Por decisión, aplastar botellas y vasos, que reduce b un 62 %.

¿Dónde aparece la optimización? En seis lugares (§9 y §16): la forma de la sección de la bolsa (derivada, el cuadrado es el mejor rectángulo y el círculo es mejor aún); qué categorías agrupar; cada cuánto retirar cada corriente (con un óptimo no monótono en T = 3); qué fracción aplastar (una inecuación lineal, x ≥ 3,4 %); qué tamaño de bolsa usar; y cuántas comprar para no quedarse cortos en ningún escenario.

¿Qué parte del modelo mejoraría con más datos? La capacidad efectiva y los volúmenes unitarios, llenando una bolsa real y contando lo que entra. Después, las ventas del kiosco. El orden está en §19 y sale del presupuesto de error: medir primero lo que más reduce la incertidumbre.

Anexo: parámetros y código reproducible

El programa reproduce todas las tablas de escenarios de §15 y §18. Se puede correr en cualquier intérprete de Python 3, sin bibliotecas externas.

Datos de partida corregidos

poblacion: {alumnos: 521, personal: 98}
personal_muestra:            # objetos/día, sin almuerzos del comedor
  personas: [4.0, 4.0, 5.5, 2.0, 1.0, 9.67]
  promedio: 4.36
  categorias_6_personas: {fruta: 2, yerba: 2, te: 2, servilletas: 1.58,
                          envases: 3, botella: 1, vasos_cafe: 12, envoltorios: 2.59}
alumnos:
  casa_h: {central: 0.99, intervalo: [0.75, 1.21], estimador: E3, cuatro_o_mas: 5}
  kiosco_k: {central: 0.78, intervalo: [0.57, 0.94]}
  bebidas_kiosco_q: {central: 0.38, intervalo: [0.23, 0.53]}
  tipos_casa_ponderados: {servilletas: 0.774, envoltorios: 0.117, envases: 0.037, botellas: 0.073}
bolsa_90x120: {C_nominal_L: 309.4, eta: [0.85, 0.95], phi: [0.50, 0.70], C_ef_central_L: 167.1}
maestranza: {bolsas_90x120_dia: 6, bolsas_60x100_dia: 6, llenado: 0.98}

Programa

import math
# Volumen por objeto en litros: (mín, central, máx) suelto; (mín, central, máx) aplastado
U = {
    "fruta":   ((0.04, 0.08, 0.12),   (0.04, 0.08, 0.12)),
    "yerba":   ((0.10, 0.15, 0.20),   (0.10, 0.15, 0.20)),
    "te":      ((0.01, 0.015, 0.02),  (0.01, 0.015, 0.02)),
    "serv":    ((0.015, 0.035, 0.065),(0.011, 0.015, 0.02)),
    "env_com": ((0.51, 0.68, 0.85),   (0.05, 0.10, 0.15)),
    "botella": ((0.55, 0.63, 0.72),   (0.24, 0.30, 0.36)),
    "vaso":    ((0.15, 0.20, 0.25),   (0.02, 0.04, 0.06)),
    "envol":   ((0.034, 0.065, 0.113),(0.01, 0.02, 0.03)),
}
CAT = {"fruta":"O","yerba":"O","te":"O","serv":"S","env_com":"T",
       "botella":"B","vaso":"B","envol":"E"}
PERSONAL_6 = {"fruta":2,"yerba":2,"te":2,"serv":1.58,"env_com":3,
              "botella":1,"vaso":12,"envol":2.59}          # objetos/día, 6 personas
CASA = {"serv":0.7737,"envol":0.1168,"env_com":0.0365,"botella":0.0730}
ESC = {  # rp, h, k, q, eta, phi, índice de volumen (0 mín, 1 central, 2 máx)
    "bajo":     (3.30, 0.75, 0.57, 0.23, 0.95, 0.70, 0),
    "esperado": (4.36, 0.99, 0.78, 0.38, 0.90, 0.60, 1),
    "alto":     (5.03, 1.21, 0.94, 0.53, 0.85, 0.50, 2),
    "extremo":  (6.85, 1.47, 1.19, 0.53, 0.85, 0.50, 2),
}
NA, NP = 521, 98
C_NOM = 0.9**2 * 1.2 / math.pi * 1000        # 90 x 120 cm, cilindro: 309,4 L

def volumen_por_categoria(rp, h, k, q, iu, aplastar):
    obj = {}
    s6 = sum(PERSONAL_6.values())
    for j, c in PERSONAL_6.items(): obj[j] = obj.get(j, 0) + NP * rp * c / s6
    for j, p in CASA.items():       obj[j] = obj.get(j, 0) + NA * h * p
    obj["botella"] += NA * k * q
    obj["envol"]   += NA * k * (1 - q)
    V = {}
    for j, n in obj.items():
        u = U[j][1 if aplastar else 0][iu]
        V[CAT[j]] = V.get(CAT[j], 0) + n * u
    return V

def techo(x): return math.ceil(x - 1e-9)

def mejor_tasa(b, tmax):   # min ceil(T b)/T con 1 <= T <= tmax
    return min(techo(T * b) / T for T in range(1, tmax + 1))

for nombre, (rp, h, k, q, eta, phi, iu) in ESC.items():
    for aplastar in (False, True):
        V = volumen_por_categoria(rp, h, k, q, iu, aplastar)
        cef = eta * phi * C_NOM
        b = {c: v / cef for c, v in V.items()}
        mezcla = techo(sum(b.values()))
        cinco = sum(techo(x) for x in b.values())
        optimo = (mejor_tasa(b["O"] + b["S"], 1)
                  + mejor_tasa(b["B"] + b["T"], 5)
                  + mejor_tasa(b["E"], 5))
        print(f"{nombre:9s} aplastar={aplastar!s:5s} V={sum(V.values()):6.1f} L "
              f"b={sum(b.values()):.3f} mezcla={mezcla} 5corr={cinco} optimo={optimo:.2f}")

Salida del programa (verificada):

bajo      aplastar=False V= 127.4 L b=0.619 mezcla=1 5corr=5 optimo=1.80
bajo      aplastar=True  V=  42.0 L b=0.204 mezcla=1 5corr=5 optimo=1.40
esperado  aplastar=False V= 262.5 L b=1.571 mezcla=2 5corr=6 optimo=2.53
esperado  aplastar=True  V=  98.6 L b=0.590 mezcla=1 5corr=5 optimo=1.70
alto      aplastar=False V= 444.0 L b=3.376 mezcla=4 5corr=7 optimo=4.08
alto      aplastar=True  V= 176.0 L b=1.339 mezcla=2 5corr=5 optimo=2.40
extremo   aplastar=False V= 570.6 L b=4.339 mezcla=5 5corr=7 optimo=5.00
extremo   aplastar=True  V= 225.4 L b=1.714 mezcla=2 5corr=6 optimo=2.60

Para probar otra hipótesis alcanza con cambiar un número: por ejemplo, poner q = 0,23 o sacar los 9 cafés de PERSONAL₆ (vaso = 3) y volver a correr.